Алгебра · Задача № 18 с параметром

Метод «гвоздей» · Задачи

Четыре задачи на расположение корней квадратного трёхчлена — с ответами для проверки.

1
Один корень больше 1, другой меньше 1

При каких значениях $a$ один из корней уравнения больше $1$, а другой меньше $1$?

$$(a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5 = 0$$
Ответ$a \in \left(-2 - \sqrt{11};\; -2 + \sqrt{11}\right)$
2
Оба корня больше 5

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения удовлетворяют условию $x > 5$?

$$x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0$$
Ответ$a \in [6;\; 10)$
3
Корни по модулю меньше 6

При каких $a$ корни уравнения удовлетворяют условию $|x| < 6$?

$$x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0$$
Ответ$a \in \left(-\dfrac{43}{21};\; 1\right]$
4
Решение неравенства содержит отрезок

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства содержит отрезок $[-2;\;2]$.

$$\frac{3}{4}x^2 - (a + 1)x - a^2 - a + 1 < 0$$
Ответ$a \in \left(-\infty;\; -\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\right) \cup (3;\; +\infty)$