MATHEGESHПараметры · профильный ЕГЭ · №18
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД · УРОК В ГРУППЕ

Хороший–плохой
корень

Найти кандидатов — половина дела.
Проверим, какие из них подходят, и посчитаем различные корни.

4 подробных разбора20 аналогов5 учеников
Разобраться в методе ↓Перейти к заданиям
01 / смысл метода

Хороший — значит прошёл все проверки

«Хороший» и «плохой» — это не знак числа. Так мы отмечаем, подходит ли конкретный кандидат под все условия задачи при выбранном значении параметра.

Сначала — семейство уравнений

Параметр \(a\) фиксируется, после чего мы решаем обычное уравнение относительно \(x\). При другом \(a\) меняются и корни, и их количество.

\[\begin{gathered}x^2=a\\\begin{cases}0\text{ корней},&a<0,\\1\text{ корень},&a=0,\\2\text{ корня},&a>0.\end{cases}\end{gathered}\]

Затем — отбор кандидатов

После разложения на множители или равносильного преобразования получаем формулы \(x_1(a),x_2(a),\ldots\). Каждую проверяем в ОДЗ всего уравнения и на заданном промежутке.

\[\begin{gathered}\text{хороший кандидат}\\\Updownarrow\\\begin{cases}\text{выполнена вся ОДЗ},\\x_i(a)\in[L;R].\end{cases}\end{gathered}\]
Что именно требуется посчитать?Если сказано «ровно один корень на отрезке», считаем только различные допустимые значения \(x\) на этом отрезке. Другие корни за его пределами условию не мешают.

Обозначим через \(G_i\) множество значений параметра, при которых кандидат \(x_i\) хороший. Это множества на оси \(a\), а не промежутки, в которых находится \(x\).

Два кандидатаСколько корней?«Ровно один»?
Оба плохие0Нет
Хорош ровно один1Да
Оба хорошие и различны2Нет
Оба хорошие и совпадают1Да
Две записи ещё не означают два корняПри \(x_1=x_2\) одно и то же число считаем один раз. Но если кандидатов три, совпадение двух не гарантирует единственный корень: третий может быть другим хорошим числом.
02 / рабочий порядок

Шесть шагов, которые не дают потерять корень

  1. Записать всю ОДЗКвадратный корень требует \(U\ge0\), логарифм — \(V>0\). В произведении должны существовать оба множителя.
  2. Найти всех кандидатовПриравнять подкоренные выражения или разобрать нулевые множители. Не делить на выражение, которое может быть нулём.
  3. Проверить каждого отдельноПодставить \(x_i(a)\) в ОДЗ и условие \(L\le x_i(a)\le R\). Решить систему и получить \(G_i\).
  4. Наложить хорошие промежуткиИзобразить \(G_i\) на одной оси параметра. Места с одной «крышей» дают одного хорошего кандидата.
  5. Разобрать совпаденияРешить все попарные равенства \(x_i(a)=x_j(a)\). В каждой такой точке заново посчитать различные хорошие корни.
  6. Проверить все границыСтрогие ограничения дают выколотые точки. Подставить критические значения и собрать окончательный ответ.
Два полезных равносильных перехода
\[\sqrt U=\sqrt V\iff\begin{cases}U=V,\\U\ge0.\end{cases}\]
\[\begin{gathered}\ln U\cdot\sqrt V=0\\\Updownarrow\\\begin{cases}U>0,\ V\ge0,\\U=1\ \text{или}\ V=0.\end{cases}\end{gathered}\]

Метод особенно удобен, когда кандидаты явно выражаются через параметр. Нельзя просто посчитать ветви преобразованного уравнения: сначала нужно убедиться, что преобразование сохранило все решения.

07 / интерактивная проверка

Двигай параметр. Считай корни.

Цветные отрезки показывают, при каких \(a\) кандидат хороший. Вертикальная линия — выбранный параметр. Нажимай на критические точки: именно на них чаще всего меняется ответ.

Закрашенная точка входит в промежуток, пустая — не входит. В местах наложения «крыш» отдельно проверяем совпадения значений \(x\).

08 / работа в группе

Один метод. Пять самостоятельных вариантов.

У каждого ученика — четыре задачи, по одной на каждый разобранный прототип. В аналогах изменены числа, а структура уравнений и логика решения сохранены.

1. Разбираем вместеПройдите исходный пример и проговорите, что делает каждого кандидата хорошим.
2. Решаем свой аналогКаждый выписывает кандидатов, множества \(G_i\), совпадения и итоговый ответ.
3. Сверяем логикуОбсудите строгие границы и точки совпадения. Ответ и полный разбор есть под каждой карточкой.

«Копировать» отправляет в буфер PNG с условием и красивыми формулами. Ответ, разбор и пометки «Ученик» / «Исходное» в изображение не попадают.

09 / опоры из трёх материалов

Теория, на которую опирается метод

В присланных материалах метод соседствует с Виетом, расположением корней и заменами. Здесь — связанный с ним конспект и разобранные примеры, чтобы можно было восстановить нужный инструмент прямо на уроке.

Квадратное уравнение с параметром: сначала особый случай

В уравнении \(A(a)x^2+B(a)x+C(a)=0\) сначала проверяем \(A(a)=0\). В этой точке уравнение уже не квадратное.

\[A=0:\quad\begin{cases}x=-C/B,&B\ne0,\\\text{любое }x,&B=0,\ C=0,\\\text{решений нет},&B=0,\ C\ne0.\end{cases}\]

Если \(A\ne0\), работаем с \(D=B^2-4AC\): при \(D<0\) действительных корней нет, при \(D=0\) есть один корень, при \(D>0\) — два различных.

Связь с хорошим и плохим корнемДискриминант сообщает, сколько действительных корней у трёхчлена. Если есть ОДЗ и заданный отрезок, каждый найденный корень всё равно нужно проверить.
Виет: знаки корней без извлечения дискриминанта

Для действительных корней квадратного уравнения:

\[S=x_1+x_2=-\frac BA,\qquad P=x_1x_2=\frac CA.\]
Что нужноУсловия при \(A\ne0\)
Корни разных знаков\(P<0\) — уже обеспечивает \(D>0\)
Оба корня положительны\(D\ge0,\ S>0,\ P>0\)
Оба корня отрицательны\(D\ge0,\ S<0,\ P>0\)
Нужны именно два различныхЗаменяем \(D\ge0\) на \(D>0\)

Полезные тождества из теории:

\[x_1^2+x_2^2=S^2-2P,\qquad |x_1-x_2|=\frac{\sqrt D}{|A|}.\]

Пример: все решения положительны

\[(a-3)x^2-2ax+5a=0.\]
  1. При \(a=3\) получаем \(-6x+15=0\), то есть \(x=5/2>0\). Это значение параметра подходит.
  2. При \(a\ne3\): \(D/4=-4a^2+15a\), поэтому действительные корни есть при \(a\in[0;15/4]\).
  3. Внутри \((0;15/4)\) условия \(S=2a/(a-3)>0\) и \(P=5a/(a-3)>0\) дают \(a>3\).
  4. При \(a=0\) единственный корень равен нулю и не подходит. При \(a=15/4\) двойной корень \(x=5\) положителен.
\[\boxed{a\in\left[3;\frac{15}{4}\right]}\]

«Алгебра. Теория»: пример с положительными решениями. Здесь наличие хотя бы одного решения требуется условием; отсутствие корней не считается подходящим случаем.

Ровно один отрицательный корень: три разных механизма

В примере из шпаргалки требуется ровно один отрицательный корень:

\[ax^2+(a+4)x+a+1=0.\]
  1. Линейный случай. При \(a=0\): \(4x+1=0\), поэтому \(x=-1/4\). Значение \(a=0\) подходит.
  2. Два корня разных знаков. При \(a\ne0\) условие \(P=(a+1)/a<0\) даёт \(-1
  3. Один двойной отрицательный корень. \(D=-3a^2+4a+16=0\) при \(a=\frac23(1\pm\sqrt{13})\). Проверяем \(x=-(a+4)/(2a)\): отрицателен он только для знака «плюс».
  4. Возможный нулевой корень. При \(a=-1\) получаем корни \(0\) и \(3\), отрицательных нет. Этот край не включаем.
\[\boxed{a\in(-1;0]\cup\left\{\frac23(1+\sqrt{13})\right\}}\]

Такой разбор полезен и для основного метода: один корень может получиться из-за отбора, вырождения уравнения или совпадения кандидатов.

«Гвозди»: корни относительно точки и отрезка

Если \(f(x)=Ax^2+Bx+C\) и \(A>0\), парабола направлена вверх. Значение функции в заданной точке помогает понять, где находятся корни.

\[x_1

Строгое отрицательное значение уже гарантирует два различных действительных корня. Для двух различных корней на отрезке нужны три проверки:

\[x_1,x_2\in[L;R],\ x_1\ne x_2\iff\begin{cases}D>0,\\f(L)\ge0,\ f(R)\ge0,\\L<-\dfrac B{2A}

Вершина должна лежать внутри отрезка: без этого оба корня могут оказаться по одну сторону от него. Если \(A<0\), можно сначала умножить уравнение на \(-1\).

Пример из теории: два корня на \([-3;0]\)

\[x^2+3ax-a^2+1=0.\]
\[\begin{cases}13a^2-4>0,\\10-9a-a^2\ge0,\\1-a^2\ge0,\\-3<-\dfrac{3a}{2}<0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\in\left(\dfrac2{\sqrt{13}};1\right]}.\]

Два коротких примера из шпаргалки

Для \(x^2+ax+4=0\) число \(2\) строго между корнями тогда и только тогда, когда \(f(2)=8+2a<0\). Ответ: \(a<-4\).

Чтобы это же уравнение имело два различных корня, каждый не меньше 1, нужны \(D>0\), \(f(1)\ge0\) и \(-a/2>1\):

\[\begin{cases}a^2-16>0,\\a+5\ge0,\\a<-2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad a\in[-5;-4).\]

Если разрешён один двойной корень, точка \(a=-4\) тоже подходит: \((x-2)^2=0\). Формулировка о количестве различных корней принципиальна.

Замена переменной: сохранить диапазон и число прообразов

После замены недостаточно решить новое уравнение. Нужно знать диапазон новой переменной и сколько исходных \(x\) соответствует каждому допустимому значению.

Пример из подробной теории: существует хотя бы один корень

\[(2^{\sin x}-1)a^2-(3\cdot2^{\sin x}-1)a+2^{\sin x+1}=0.\]

Пусть \(t=2^{\sin x}\). Так как \(\sin x\in[-1;1]\), имеем \(t\in[1/2;2]\), причём каждое значение этого отрезка достигается.

\[t(a-1)(a-2)=a(a-1).\]

До сокращения проверяем особые случаи. При \(a=1\) получается тождество: подходит любое \(x\). При \(a=2\) получается \(0=2\): решений нет. Для остальных значений:

\[\frac12\le\frac a{a-2}\le2\quad\Longrightarrow\quad a\le-2\ \text{или}\ a\ge4.\]
\[\boxed{a\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup[4;+\infty)}\]

Пример из шпаргалки: ровно два корня

\[\begin{gathered}\bigl(\log_2(x+1)-\log_2(x-1)\bigr)^2\\-2\bigl(\log_2(x+1)-\log_2(x-1)\bigr)-a^2+1=0.\end{gathered}\]

ОДЗ: \(x>1\). Делаем замену:

\[t=\log_2\frac{x+1}{x-1}>0,\qquad x=\frac{2^t+1}{2^t-1}.\]

Каждому \(t>0\) соответствует ровно один \(x>1\), поэтому можно считать корни по \(t\). Получаем \((t-1)^2=a^2\), то есть кандидаты \(t_1=1+a\), \(t_2=1-a\). Для двух различных исходных корней оба кандидата должны быть положительными и не совпадать.

\[\begin{cases}1+a>0,\\1-a>0,\\a\ne0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\in(-1;0)\cup(0;1)}.\]

Это тот же принцип: сначала кандидаты, затем «хорошесть», затем проверка совпадения.

10 / перед тем как записать ответ

Пять вопросов для самопроверки

1. Не умножаю ли я ноль на то, чего нет?

В произведении \(0\cdot\ln0\) логарифм не определён. Такой кандидат не является корнем.

2. Проверена ли вся ОДЗ?

Обнулённый множитель проверяет только свою ветвь. У второго множителя остаются собственные ограничения.

3. Что означает каждая граница?

Для корня ноль допустим, для аргумента логарифма — нет. Скобку определяет условие, а не рисунок на глаз.

4. Считаю ли я различные числа?

Одинаковые значения \(x_1\) и \(x_2\) — один корень. Проверить нужно все попарные совпадения.

5. Не остался ли третий хороший корень?При совпадении двух кандидатов проверь остальные. В обоих логарифмических примерах центральная точка совпадения даёт два различных корня, поэтому не входит в ответ.
Материалы урока

На основе трёх присланных файлов

  1. «Алгебра. Теория» — параметры и квадратные уравнения, Виет, расположение корней, подробный метод «хороший/плохой корень» на с. 6–8 и замены переменных.
  2. «Алгебра. Шпаргалка» — короткие схемы по Виету, «гвоздям», заменам и равенству двух квадратных корней на с. 3.
  3. «Хороший/плохой корень» — обе задачи из отдельного листка и сверка с ответами на второй странице.

Четыре исходных примера переписаны формулами и разобраны по шагам: три из PDF и один из присланного скриншота. Двадцать аналогов составлены для этой страницы; ответы проверены с учётом ОДЗ, концов промежутков и совпадений.