Алгебра · Задача № 18 с параметром

Метод «гвоздей»

Прибиваем параболу гвоздями-ограничениями, пока она не займёт единственно возможное положение. Попробуй сами: задай гвозди — и лишние параболы исчезнут.

К интерактиву 📌

В чём идея метода

Разберём задачу:

При каких значениях параметра $a$ уравнение $$x^2 + 3ax - a^2 + 1 = 0$$ имеет два корня из отрезка $[-3;\,0]$?

Каждое ограничение на параметр — это «гвоздь». Первый гвоздь ($D > 0$) заставляет параболу пересекать ось $x$ в двух точках. Следующие гвозди — неотрицательные значения на концах отрезка и вершина внутри него — окончательно фиксируют её положение. Когда все гвозди забиты, остаётся только решить получившуюся систему.

Лаборатория гвоздей 🔨

На плоскости — случайные параболы с ветвями вверх. Кликай по гвоздям: параболы, которые не удовлетворяют забитым гвоздям, плавно растворятся. Забей все четыре — останутся только те, чьи оба корня лежат на отрезке $[-3;\,0]$.

Парабол: 24

📌

Гвоздь 1 · два корня

$D > 0$

📌

Гвоздь 2 · левый край

$f(-3) \geqslant 0$

📌

Гвоздь 3 · правый край

$f(0) \geqslant 0$

📌

Гвоздь 4 · вершина внутри

$-3 < x_0 < 0$

обычная парабола подходит под условие задачи отсеяна гвоздями

Как это решается аналитически

Условие на дискриминант: $$D > 0 \;\Leftrightarrow\; 9a^2 + 4a^2 - 4 > 0 \;\Leftrightarrow\; a^2 - \tfrac{4}{13} > 0 \;\Leftrightarrow\; a < -\tfrac{2}{\sqrt{13}} \ \text{или}\ a > \tfrac{2}{\sqrt{13}}$$

Значение в точке $x=-3$: $$f(-3) \geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; a^2 + 9a - 10 \leqslant 0 \;\Leftrightarrow\; -10 \leqslant a \leqslant 1$$

Значение в точке $x=0$: $$f(0) \geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; -a^2 + 1 \geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; -1 \leqslant a \leqslant 1$$

Вершина $x_0 = -\tfrac{3}{2}a$ внутри отрезка: $$-3 < -\tfrac{3}{2}a < 0 \;\Leftrightarrow\; 0 < a < 2$$

Числа на прямой идут так: $-10 < -1 < -\tfrac{2}{\sqrt{13}} < 0 < \tfrac{2}{\sqrt{13}} < 1 < 2$. Пересечение — промежуток, над которым есть все четыре «крышечки»:

Ответ: $a \in \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}};\; 1\right]$