Замена
в параметре
Вводим новую переменную, исследуем её значения
и возвращаемся к исходным корням.
4 исходные задачи20 аналогов24 подробных решения
Вводим новую переменную, исследуем её значения
и возвращаемся к исходным корням.
Повторяющееся выражение можно обозначить через \(t\). Но после этого нужно заново перевести условие о корнях: допустимые значения \(t\) и количество исходных \(x\) зависят от самой замены.
Для \(t=2^{\sin x}\) получаем \(t\in[\tfrac12;2]\). Уравнение относительно \(t\) может оказаться линейным, хотя относительно параметра оно квадратное.
Перед делением проверяем нули коэффициента: \(a=1\) и \(a=2\). После решения возвращаем подходящие особые случаи и проверяем границы области замены.
| Замена и область для x | Значения t | Обратная замена |
|---|---|---|
| \(t=2^{\sin x},\ x\in\mathbb R\) | \([\tfrac12;2]\) | Каждое допустимое t даёт бесконечно много x |
| \(t=\sin x,\ x\in[-\tfrac\pi2;0)\) | \([-1;0)\) | Ровно один x для каждого t |
| \(t=2^x,\ x<2\) | \((0;4)\) | Ровно один x для каждого t |
| \(t=2^x+2^{-x},\ x\in\mathbb R\) | \([2;+\infty)\) | При t=2 — один x; при t>2 — два |
Основа: раздел «Замена в параметре» из «Алгебра. Теория», с. 8–10. Остальные методы из пособия в этот урок не включены.
Проверь пример из теории. Меняй параметр и следи, попадает ли \(t=\dfrac a{a-2}\) в отрезок \([\tfrac12;2]\). Значения 1 и 2 разбираются отдельно.
−2 и 4 — границы допустимости. 1 и 2 — нули коэффициента, на который хотели разделить.
Полоса показывает допустимый отрезок по t. Когда значение выходит далеко за видимую шкалу, указатель остаётся у её края.
Каждому ученику — четыре задачи, по одной на каждый прототип. Числа изменены, структура и тип условия сохранены. Сначала реши сам, затем раскрой ответ и разбор.